Gewährleistung Funkschlüssel

Hallo!

Ich habe mir vor 5 Monaten einen gebrauchten BMW bei einem BMW-Vertragshändler gekauft. Seit einiger Zeit funktioniert die Schließen-Taste der einen Funkfernbedienung nicht mehr, der Rest geht aber noch (Aufmachen, Starten des Motors). Zusätzlich zur gesetzlichen Gewährleistung gab es noch eine 1-Jahres Garantie. Nun schreibt mir der Händler, dass ich für die Kosten des Schlüssels selber aufkommen muss (stolze 165€), da dieser angeblich nicht über die Garantie abgewickelt werden kann.
Greift in diesem Fall nicht die Gewährleistung bzw. kommt der Händler der Vertragserfüllung nicht nach, da zu einem Autokauf immer zwei funktionierende Schlüssel dazu gehören?

Ich bedanke mich schon mal für alle Antworten.

Wie alt ist denn das Auto (Tag der Erstzulassung laut FZ Schein)ab da 2 Jahre ist noch Garantie ab Werk und die 1 Jahes Garantie mußt Du mal durchlesen was eingeschlossen ist.
mfg.

Ich denke hier ist alles erklärt:

https://www.ruv.de/de/r_v_ratgeber/fahrzeug_verkehr/kauf_verkauf/serie_autokauf_gebrauchtwagen.jsp