Wenn der untere Küheranschlussschlauch permanent kalt/kühl bleibt, dürfte der Thermostat defekt sein; da bist Du schon auf der richtigen Spur.
... und das Kühlsystem wird bei Deinem Auto via Ausgleichbehälter aufgefüllt; das Ding ist parallel zum Kühler 'geschaltet', daher verteilt sich das Kühlmittel auch in den Kühler.
Entlüftet wird via offenen Deckel des Ausgleichbehälters.
Da Luftblasen in dem Kühlmittel-Wasser-Gemisch nach oben steigen, stellt man bei Entlüftung das Auto am besten so an einen Hang, dass der Kühlmittelpegel im Ausgleichbehälter das höchste Niveau im Kühlsystem ist; alternativ Fahrzeug an dieser Fahrzeugseite aufbocken. Zudem die Heizung voll aufdrehen, damit auch der Heizungs-Wärmetauscher entlüftet wird.
Dabei immer genügend Kühlmittel nachfüllen, damit das Kühlsystem nicht zwischendurch wieder Luft ziehen kann.
Der Motor muss so lange laufen, bis der Thermostat den großen Kühlmittelkreislauf zuschaltet und keine Blasen mehr im Ausgleichbehälter empor steigen.
Sollte das Kühlsystem wegen der Drucklosigkeit des offenen Systems das Kochen anfangen, Entlüftung abbrechen und erst nach Abkühlung fortsetzen falls nötig.